对平面内任意动点 与定三角形 ，三顶点距离平方和恒满足分解公式：
圆心 ，半径 。重心 在圆内，距离 。极值必在连心线 与圆的交点取得：
设动点 ，直接求三点平方距离之和：
若点 可在全平面自由选取，使其到三顶点平方距离和最小的唯一极值点正是重心 ：
目标函数在平面上的等值线是以重心 为圆心的同心圆族：
注：两圆相切时法线重合，对应约束优化中的梯度共线条件。
展开式中一次项的本质是动点向量与各定点向量和的内积：
三顶点横坐标之和为 0，横向分量抵消，仅保留纵轴分量 。